Ήταν 10 Ιουνίου 1854, όταν στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ένας νεαρός μαθηματικός, ο Μπέρναρντ Ρίμαν, ανέβηκε στο βήμα, παρακολουθούμενος από τον μέντορά του, τον σπουδαίο Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Το θέμα που επέλεξε, «Περί των υποθέσεων που κείνται στα θεμέλια της Γεωμετρίας», θα αποδεικνυόταν καίριας σημασίας για την κατανόηση του Σύμπαντος, ενδεχομένως καθορίζοντας ολόκληρη την καριέρα του.
Αυτή την ημέρα γεννήθηκε η ιδέα της «πολλαπλότητας» (manifold), μια έννοια που χρειάστηκε δεκαετίες για να αναγνωριστεί πλήρως στη φυσική. Σήμερα, αποτελεί ακρογωνιαίο λίθο για πολλά επιστημονικά πεδία, από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν μέχρι τη Θεωρία των Χορδών και την ανάλυση Big Data.
Η «απόδραση» από τις περιοριστικές δομές του Ευκλείδη
Εδώ και 2.000 χρόνια, η μαθηματική σκέψη περιοριζόταν στους αυστηρούς κανόνες του Ευκλείδη. Η αντίληψη του κόσμου ως επίπεδου και άκαμπτου συνεπαγόταν ότι οι παράλληλες γραμμές ποτέ δεν τέμνονταν και ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ήταν πάντοτε 180 μοίρες. Αυτή η «επίπεδη» γεωμετρία εξυπηρετούσε τους αρχιτέκτονες και τους μηχανικούς, αλλά δεν μπορούσε να περιγράψει την πολυπλοκότητα του καμπύλου κόσμου.
Ο Ρίμαν τόλμησε να δει τα πράγματα διαφορετικά. Πρότεινε ότι ο χώρος δεν είναι στατικός, αλλά δυναμικός, ικανός να καμπυλώνεται και να προσδιορίζεται ανάλογα με τις συνθήκες.
Η έννοια της πολλαπλότητας επιτρέπει την κατανόηση χώρων με περίπλοκο σχήμα, διατηρώντας ωστόσο τη γνώριμη αναλογία με τον επίπεδο Ευκλείδειο χώρο όταν εξετάζεται τοπικά. Για να το εικονογραφήσουμε, σκεφτείτε ένα μυρμήγκι πάνω σε μια σφαίρα: φαίνεται να κινείται σε επίπεδο χώρο, όμως στην πραγματικότητα περιηγήθηκε σε καμπύλη επιφάνεια.
Αυτή η νέα ιδέα έδωσε τη δυνατότητα στους μαθηματικούς να χρησιμοποιούν εργαλεία του λογισμού για την ανάλυση δομών υψηλής πολυπλοκότητας.
Το σπουδαίο «δώρο» του Ρίμαν στον Αϊνστάιν
Η πραγματική δύναμη της έννοιας της πολλαπλότητας αποκαλύφθηκε 60 χρόνια μετά τη διάλεξη του Ρίμαν. Όταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν προσπαθούσε να διατυπώσει τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, συνειδητοποίησε ότι χρειαζόταν μια νέα μαθηματική γλώσσα για να περιγράψει τη βαρύτητα. Η βαρύτητα δεν είναι μια απλή δύναμη, αλλά το αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χώρου και του χρόνου.
Ο συνεργάτης του, Μαρσέλ Γκροσμάν, τον καθοδήγησε στο έργο του Ρίμαν. Ο Αϊνστάιν ανακάλυψε ότι ο τετραδιάστατος χωροχρόνος μπορεί να θεωρηθεί ως μια Ριμάνια πολλαπλότητα. Με τη βοήθεια αυτής της μαθηματικής προσέγγισης, εξήγησε πώς η ύλη επηρεάζει την καμπυλότητα του χώρου και πώς αυτή, με τη σειρά της, καθορίζει την κίνηση της ύλης. Χωρίς την έννοια της πολλαπλότητας, η σύγχρονη φυσική δεν θα υπήρχε.
Αναζητώντας την πολυδιάστατη πραγματικότητα
Στη σημερινή εποχή, η έννοια της πολλαπλότητας έχει επηρεάσει ευρέως όχι μόνο τη φυσική, αλλά και άλλες επιστήμες που ο Ρίμαν δεν είχε φανταστεί.
Στη ρομποτική, οι κινησιολογίες μηχανικών βραχιόνων υπολογίζονται σε μια πολλαπλότητα διαμόρφωσης πολλών διαστάσεων, χαρτογραφώντας όλες τις πιθανές θέσεις των αρθρώσεων.
Στην ανάλυση δεδομένων και τη μηχανική μάθηση, οι αλγόριθμοι επιδιώκουν να εντοπίσουν μοτίβα σε μεγάλες ποσότητες πληροφοριών. Η Υπόθεση της Πολλαπλότητας προτείνει ότι τα δεδομένα του πραγματικού κόσμου κρύβονται πίσω από δομές χαμηλότερης διάστασης, ακόμα κι αν φαντάζουν χαοτικά και πολυδιάστατα.
Ακόμα και στη Θεωρία των Χορδών, οι φυσικοί κάνουν λόγο για πολλαπλότητες Calabi-Yau, γεωμετρικά σχήματα έξι διαστάσεων που ίσως καθορίζουν τους θεμελιώδεις νόμους της φύσης κρυμμένα μέσα στην πραγματικότητα.
Η κληρονομιά μιας επαναστατικής ιδέας
Η διάλεξη του Ρίμαν έκλεισε με αυθόρμητο χειροκρότημα, αλλά η επανάσταση που είχε προκαλέσει τότε πέρασε απαρατήρητη. Ωστόσο, ο Γκάους κατάλαβε τη σημασία αυτής της στιγμή, αναγνωρίζοντας ότι ο μαθητής του είχε μόλις ανοίξει μια νέα πόρτα στην επιστήμη.
Η έννοια της πολλαπλότητας παραμένει σήμερα μία από τις πιο επιδραστικές στην ιστορία της επιστήμης. Μας διδάσκει ότι, για να κατανοήσουμε το περίπλοκο, πρέπει να κοιτάξουμε την τοπική συμπεριφορά. Από το σχήμα του Σύμπαντος μέχρι την ανθρώπινη νοημοσύνη, η γεωμετρία αποδεικνύεται θεμελιώδης.
