Οι πολλαπλότητες αντιμετωπίζουν ένα πρόβλημα που διαφορετικά θα έπρεπε να αντιμετωπίσουν οι μαθηματικοί: Οι ιδιότητες ενός σχήματος μπορούν να αλλάξουν ανάλογα με τη φύση και τη διάσταση του χώρου στον οποίο ζει (και πώς βρίσκεται σε αυτόν τον χώρο). Για παράδειγμα, τοποθετήστε ένα κομμάτι κορδόνι σε ένα τραπέζι και συνδέστε τα άκρα του χωρίς να το σηκώσετε. Θα πάρετε ένα απλό βρόχο. Τώρα κρατήστε το κορδόνι στον αέρα και δέστε τις άκρες του μεταξύ τους. Εξετάζοντας το κορδόνι σε τρεις διαστάσεις, μπορείτε να το περάσετε από πάνω και κάτω από τον εαυτό του πριν συνδέσετε τα άκρα, δημιουργώντας κάθε είδους κόμπους πέρα από τον απλό βρόχο. Όλα αντιπροσωπεύουν την ίδια μονοδιάστατη πολλαπλότητα – τη κυκλική συμβολοσειρά – αλλά έχουν διαφορετικές ιδιότητες όταν εξετάζονται σε δύο έναντι τριών διαστάσεων.
Οι μαθηματικοί αποφεύγουν τέτοιες ασάφειες εστιάζοντας στις εγγενείς ιδιότητες της πολλαπλής. Η καθοριστική ιδιότητα των πολλαπλών – ότι σε οποιοδήποτε σημείο, φαίνονται ευκλείδεια – είναι εξαιρετικά χρήσιμη σε αυτό το μέτωπο. Επειδή είναι δυνατό να σκεφτούμε οποιοδήποτε μικρό κομμάτι της πολλαπλότητας από την άποψη του Ευκλείδειου χώρου, οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν παραδοσιακές τεχνικές λογισμού για, ας πούμε, να υπολογίσουν το εμβαδόν ή τον όγκο του ή να περιγράψουν την κίνηση σε αυτό.
Για να γίνει αυτό, οι μαθηματικοί διαιρούν μια δεδομένη πολλαπλότητα σε πολλά επικαλυπτόμενα μπαλώματα και αντιπροσωπεύουν το καθένα με ένα «διάγραμμα»—ένα σύνολο από κάποιο αριθμό συντεταγμένων (ίσο με τη διάσταση της πολλαπλότητας) που σας λένε πού βρίσκεστε στην πολλαπλότητα. Είναι σημαντικό, επίσης, να γράψετε κανόνες που περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο οι συντεταγμένες των επικαλυπτόμενων γραφημάτων σχετίζονται μεταξύ τους. Η συλλογή όλων αυτών των διαγραμμάτων ονομάζεται άτλαντας.
Στη συνέχεια, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον άτλαντα – τα γραφήματα του οποίου μεταφράζουν μικρότερες περιοχές της δυνητικά περίπλοκης πολλαπλότητας σας σε οικείο Ευκλείδειο χώρο – για να μετρήσετε και να εξερευνήσετε την πολλαπλότητα ένα μπάλωμα τη φορά. Αν θέλετε να κατανοήσετε πώς συμπεριφέρεται μια συνάρτηση σε μια πολλαπλότητα ή να κατανοήσετε την παγκόσμια δομή της, μπορείτε να χωρίσετε το πρόβλημα σε κομμάτια, να λύσετε κάθε κομμάτι σε διαφορετικό γράφημα, στον Ευκλείδειο χώρο και, στη συνέχεια, να συρράψετε τα αποτελέσματα από όλα τα γραφήματα στον άτλαντα για να λάβετε την πλήρη απάντηση που αναζητάτε.
Σήμερα, αυτή η προσέγγιση είναι πανταχού παρούσα σε όλα τα μαθηματικά και τη φυσική.
Χρήσεις πολλαπλής
Οι πολλαπλότητες είναι ζωτικής σημασίας για την κατανόησή μας για το σύμπαν, για ένα. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας, ο Αϊνστάιν περιέγραψε τον χωροχρόνο ως μια τετραδιάστατη πολλαπλότητα και τη βαρύτητα ως την καμπυλότητα αυτής της πολλαπλότητας. Και ο τρισδιάστατος χώρος που βλέπουμε γύρω μας είναι επίσης ένας πολλαπλός — ένας που, όπως κάνουν οι πολλαπλοί, φαίνεται Ευκλείδειος σε όσους από εμάς ζούμε μέσα του, παρόλο που είμαστε ακόμα προσπαθεί να καταλάβει το παγκόσμιο σχήμα του.
Ακόμη και σε περιπτώσεις όπου οι πολλαπλότητες δεν φαίνεται να υπάρχουν, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να ξαναγράψουν τα προβλήματά τους στη γλώσσα των πολλαπλών για να αξιοποιήσουν τις χρήσιμες ιδιότητές τους. «Τόσο μεγάλο μέρος της φυσικής εξαρτάται από την κατανόηση της γεωμετρίας», είπε Τζόναθαν Σόρςθεωρητικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. «Και συχνά με εκπληκτικούς τρόπους».
Σκεφτείτε ένα διπλό εκκρεμές, το οποίο αποτελείται από ένα εκκρεμές που κρέμεται από το άκρο ενός άλλου. Μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες του διπλού εκκρεμούς το οδηγούν στο να χαράξει πολύ διαφορετικές τροχιές στο διάστημα, καθιστώντας τη συμπεριφορά του δύσκολο να προβλεφθεί και να κατανοηθεί. Αλλά αν αντιπροσωπεύετε τη διαμόρφωση του εκκρεμούς με δύο μόνο γωνίες (η μία περιγράφει τη θέση κάθε ενός από τους βραχίονες του), τότε ο χώρος όλων των πιθανών διαμορφώσεων μοιάζει με ντόνατ ή δακτύλιο — μια πολλαπλή. Κάθε σημείο σε αυτόν τον τόρο αντιπροσωπεύει μια πιθανή κατάσταση του εκκρεμούς. τα μονοπάτια στον τόρο αντιπροσωπεύουν τις τροχιές που μπορεί να ακολουθήσει το εκκρεμές στο διάστημα. Αυτό επιτρέπει στους ερευνητές να μεταφράσουν τις φυσικές τους ερωτήσεις σχετικά με το εκκρεμές σε γεωμετρικές, καθιστώντας τις πιο διαισθητικές και ευκολότερες στην επίλυσή τους. Με αυτόν τον τρόπο μελετούν επίσης τις κινήσεις των ρευστών, των ρομπότ, των κβαντικών σωματιδίων και πολλά άλλα.
VIA: popsci.com
