Δύο μαθηματικοί ανακοίνωσαν πρόσφατα ότι έκαναν πρόοδο σε ένα πολύ παλιό άλυτο μαθηματικό πρόβλημα. Το πρόβλημα αυτό αφορά ένα υποπεδίο της γεωμετρικής θεωρίας μέτρησης, όπου τα σύνολα αντικειμένων γενικεύονται με προηγμένα χαρακτηριστικά όπως η διάμετρος και η επιφάνεια.
Σύμφωνα με την πρόσφατη έρευνά τους (που δεν έχει ακόμη αξιολογηθεί από ομοτίμους), φαίνεται ότι η ανάλυση των αντικειμένων μέσω γεωμετρίας μπορεί να αποκαλύψει άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες που ενδέχεται να μοιράζονται, κάτι που έχει μεγάλη αξία στον ολοένα και πιο διαθεματικό τομέα των μαθηματικών.
Το πρόβλημα του συνόλου Kakeya
Το συγκεκριμένο πρόβλημα στη γεωμετρία αναφέρεται σε κάτι που ονομάζεται «Σύνολο Kakeya» και η ερώτηση που τίθεται είναι το πόσο μικρή μπορεί να είναι η περιοχή όπου μια γραμμή ή βελόνα περιστρέφεται πλήρως γύρω από 360 μοίρες.
Η εικόνα που δημιουργείται είναι αυτή ενός ακροβάτη που περιστρέφει μια ράβδο. Όμως, το πραγματικό πρόβλημα είναι πιο περίπλοκο, καθώς ο χώρος μπορεί να «ξαναχρησιμοποιηθεί» από διαφορετικές βελόνες και οι θέσεις των βελονών δεν χρειάζεται να έχουν το ίδιο κέντρο.
Αυτό δημιουργεί σχήματα όπως το δελτοειδές, το οποίο έχει μια περίπου τριγωνική μορφή που μπορεί να θυμίζει το παλιό παιχνίδι Spirograph. Το δελτοειδές μπορεί να έχει μια πολύ μικρότερη επιφάνεια από τον κύκλο που θα περικλείει την ίδια βελόνα που περιστρέφεται σαν μια ράβδος. Οι μαθηματικοί που μελετούν αυτήν την ερώτηση προσπαθούν στην ουσία να βρουν το μικρότερο δελτοειδές που είναι δυνατόν – ό,τι σχήμα κι αν είναι αυτό – σε μια ποικιλία τύπων χώρων.
Η έρευνα των Hong Wang και Joshua Zahl
Οι μαθηματικοί Hong Wang από το Πανεπιστήμιο Νέας Υόρκης (NYU) και Joshua Zahl από το Πανεπιστήμιο Βρετανικής Κολούμπια (UBC) ήταν αυτοί που βρήκαν την προσέγγιση για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Μέσω της αναδιάρθρωσης του προβλήματος και της εφαρμογής της «εκπαίδευσης κλίμακας», οι δύο μαθηματικοί κατάφεραν να βρουν μια απόδειξη.
Η μέθοδος «induction on scale»
Η μέθοδος «induction on scale» είναι παρόμοια με την παραδοσιακή μέθοδο μαθηματικής επαγωγής, αλλά επικεντρώνεται στην κλίμακα ενός αντικειμένου. Αντί να εξετάζει μία απλή γραμμή ή σχήμα, η μέθοδος εξετάζει σωλήνες (δηλαδή σύνολα σημείων σε συγκεκριμένη απόσταση και θέση από μια γραμμή ή καμπύλη), που προσφέρουν μια τρισδιάστατη διάσταση στην επίλυση προβλημάτων.
Ο βραβευμένος με το Μετάλλιο Φιλντς, Terence Tao, αναγνώρισε την απόδειξη των δύο μαθηματικών ως «εντυπωσιακή πρόοδο» και την ανέλυσε σε μια λεπτομερή ανάρτηση στο μπλογκ του. Η απόδειξη, η οποία είναι 125 σελίδες, αποτελεί αποτέλεσμα δεκαετιών προσπάθειας και αναλύσεων και η εξέλιξή της θα μπορούσε να οδηγήσει σε περαιτέρω πρόοδο στο μέλλον.
Αυτή η ανακάλυψη σηματοδοτεί μια σημαντική εξέλιξη στη γεωμετρία και τη θεωρία μέτρησης και μπορεί να έχει μακροπρόθεσμα αποτελέσματα στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο μετρούμε και κατανοούμε τις γεωμετρικές δομές σε πολλαπλές διαστάσεις.
VIA: FoxReport.gr
