Η αρχική έκδοση του αυτή η ιστορία εμφανίστηκε σε Περιοδικό Quanta.
Φανταστείτε μια παράξενη άσκηση προπόνησης: Μια ομάδα δρομέων αρχίζει να κάνει τζόκινγκ γύρω από μια κυκλική πίστα, με κάθε δρομέα να διατηρεί έναν μοναδικό, σταθερό ρυθμό. Θα καταλήξει κάθε δρομέας «μοναχικός» ή σχετικά μακριά από όλους τους άλλους, τουλάχιστον μία φορά, ανεξάρτητα από την ταχύτητά του;
Οι μαθηματικοί εικάζουν ότι η απάντηση είναι ναι.
Το πρόβλημα του «μοναχικού δρομέα» μπορεί να φαίνεται απλό και ασήμαντο, αλλά εμφανίζεται με πολλές μορφές στα μαθηματικά. Είναι ισοδύναμο με ερωτήσεις στη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία, τη θεωρία γραφημάτων και άλλα—σχετικά με το πότε είναι δυνατό να έχετε μια ξεκάθαρη οπτική γωνία σε ένα πεδίο με εμπόδια ή πού κινούνται οι μπάλες του μπιλιάρδου σε ένα τραπέζι ή πώς να οργανώσετε ένα δίκτυο. “Έχει τόσες πολλές πτυχές. Αγγίζει τόσα πολλά διαφορετικά μαθηματικά πεδία”, είπε Ματίας Μπεκ του Κρατικού Πανεπιστημίου του Σαν Φρανσίσκο.
Για δύο ή τρεις μόνο δρομείς, η απόδειξη της εικασίας είναι στοιχειώδης. Οι μαθηματικοί το απέδειξαν για τέσσερις δρομείς τη δεκαετία του 1970 και μέχρι το 2007 είχαν καταφέρει ως επτά. Όμως, τις τελευταίες δύο δεκαετίες, κανείς δεν μπόρεσε να προχωρήσει περαιτέρω.
Τότε πέρυσι, Matthieu Rosenfeldμαθηματικός στο Εργαστήριο Επιστήμης Υπολογιστών, Ρομποτικής και Μικροηλεκτρονικής του Μονπελιέ, έκρινε την εικασία για οκτώ δρομείς. Και μέσα σε λίγες εβδομάδες, ένας δευτεροετής προπτυχιακός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης ονομάστηκε Tanupat (Paul) Trakulthongchai βασίστηκε στις ιδέες του Rosenfeld για να το αποδείξει εννέα και 10 δρομείς.
Η ξαφνική πρόοδος έχει ανανεώσει το ενδιαφέρον για το πρόβλημα. «Είναι πραγματικά ένα κβαντικό άλμα», είπε ο Μπεκ, ο οποίος δεν συμμετείχε στη δουλειά. Η προσθήκη μόνο ενός δρομέα κάνει το έργο της απόδειξης της εικασίας «εκθετικά πιο δύσκολο», είπε. “Το να πηγαίνεις από επτά δρομείς σε 10 δρομείς τώρα είναι καταπληκτικό.”
Η παύλα εκκίνησης
Στην αρχή, το πρόβλημα του μοναχικού δρομέα δεν είχε καμία σχέση με το τρέξιμο.
Αντίθετα, οι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν για ένα φαινομενικά άσχετο πρόβλημα: πώς να χρησιμοποιήσουν τα κλάσματα για να προσεγγίσουν παράλογους αριθμούς όπως το pi, μια εργασία που έχει τεράστιο αριθμό εφαρμογών. Τη δεκαετία του 1960, ένας μεταπτυχιακός φοιτητής ονόματι Jörg M. Wills υπέθεσε ότι μια μέθοδος αιώνων για να γίνει αυτό είναι η βέλτιστη—ότι δεν υπάρχει τρόπος να βελτιωθεί.
Το 1998, μια ομάδα μαθηματικών ξαναέγραψε αυτή την εικασία στη γλώσσα του τρεξίματος. Λέγω Ν Οι δρομείς ξεκινούν από το ίδιο σημείο σε μια κυκλική διαδρομή μήκους 1 μονάδας και ο καθένας τρέχει με διαφορετική σταθερή ταχύτητα. Η εικασία του Wills ισοδυναμεί με το να πει ότι κάθε δρομέας θα καταλήγει πάντα μοναχικός κάποια στιγμή, ανεξάρτητα από τις ταχύτητες των άλλων δρομέων. Πιο συγκεκριμένα, κάθε δρομέας κάποια στιγμή θα βρεθεί σε απόσταση τουλάχιστον 1/Ν από οποιονδήποτε άλλο δρομέα.
Όταν ο Γουίλς είδε το χαρτί του μοναχικού δρομέα, έστειλε email σε έναν από τους συγγραφείς, Λουίς Γκόντιν του Πανεπιστημίου Simon Fraser, για να τον συγχαρεί για «αυτό το υπέροχο και ποιητικό όνομα». (Η απάντηση του Goddyn: “Ω, είσαι ακόμα ζωντανός.”)
Οι μαθηματικοί έδειξαν επίσης ότι το πρόβλημα του μοναχικού δρομέα ισοδυναμεί με μια ακόμη ερώτηση. Φανταστείτε ένα άπειρο φύλλο γραφικού χαρτιού. Στο κέντρο κάθε πλέγματος, τοποθετήστε ένα μικρό τετράγωνο. Στη συνέχεια, ξεκινήστε από μια από τις γωνίες του πλέγματος και τραβήξτε μια ευθεία γραμμή. (Η γραμμή μπορεί να δείχνει προς οποιαδήποτε κατεύθυνση εκτός από την τέλεια κάθετη ή οριζόντια.) Πόσο μεγάλα μπορούν να γίνουν τα μικρότερα τετράγωνα πριν η γραμμή πρέπει να χτυπήσει ένα;
Καθώς οι εκδοχές του προβλήματος του μοναχικού δρομέα πολλαπλασιάζονταν στα μαθηματικά, το ενδιαφέρον για την ερώτηση αυξήθηκε. Οι μαθηματικοί απέδειξαν διαφορετικές περιπτώσεις της εικασίας χρησιμοποιώντας εντελώς διαφορετικές τεχνικές. Μερικές φορές βασίζονταν σε εργαλεία από τη θεωρία αριθμών. άλλες φορές στράφηκαν στη γεωμετρία ή στη θεωρία γραφημάτων.
VIA: www.wired.com
